[2016년 정발고]

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[2학년(이과) 1학기 중간 미적분1]

보기에서 무한수열 중 발산하는 것을 있는 대로 고른 것은? [3.8점]

③

ㄱ. [eqn: left{-2n+1 right}]

ㄴ. [eqn: left{ 1over n^2 right}]

ㄷ. [eqn: left{(-1)^n right}]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

곡선 [eqn: y=x^2 -x+1] 위의 점 [eqn: (2,```3)]에서의 접선의 기울기는? [3.9점]

⑤

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[eqn: lim_x->1- {rootx+3 -2}over {|x-1|]의 값은? [4.0점]

①

① [eqn: - 1over4]	② [eqn: - 1over6]	③ [eqn: 1over6]

④ [eqn: 1over4]	⑤ [eqn: 1]

급수 [eqn: sum_n=1 ^inf left({1-(-1)^n }over3^n right)]의 합은? [4.1점]

③

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 3over4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 4over3]

자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: left{a_n right}]이 부등식 [eqn: n+1<a_n <n+10]을 만족시킬 때, [eqn: lim_n->inf {n^2 } over{a_1 + a_2 + cdots + a_n }]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등비급수
[eqn: (x+1)+(x+1) LEFT ( {2x-4} over {3} RIGHT ) ^{2} +(x+1) LEFT ( {2x-4} over {3} RIGHT ) ^{4} + cdots]
가 수렴하기 위한 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은? [4.3점]

④

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

수열 [eqn: left{a_n right}]에서 [eqn: sum_k=1 ^n a_k =n^2 +n]일 때, 무한급수 [eqn: sum_n=1 ^inf 1 over {a_n a_n+1}]의 합은? [4.4점]

③

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over5]	③ [eqn: 1over4]

④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 1over2]

함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)], [eqn: y=h(x)]에 대한 설명이다. 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: alpha], [eqn: beta]는 실수이다.) [4.4점]

④

ㄱ. [eqn: lim_x->a f(x)g(x) = lim_x->a f(x) times lim_x->a g(x)]

ㄴ. [eqn: lim_x->a f(x) =alpha]이고 [eqn: lim _{x -> a} {} g(x)=1+ beta ^{2}]이면 [eqn: lim_x->a f(x) overg(x)]는

수렴한다.

ㄷ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)le g(x)le h(x)]일 때,

[eqn: lim_x->a left{f(x)-h(x) right}=0]이고 [eqn: lim_x->a left{f(x)+h(x) right}=0]이면

[eqn: lim_x->a g(x)]는 수렴한다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^inf (na_n -3)=5]일 때, [eqn: lim_n->inf {4n^2 a_n }over{12n-5}]의 값은? [4.5점]

①

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다음 두 조건을 만족하는 다항식 [eqn: f(x)] 중 차수가 가장 낮은 것을 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g(3)]의 값을 구하면? [4.5점]

②

(가) [eqn: lim_x->1 f(x) over{x^2 +x-2} =1]

(나) [eqn: lim_x->2 f(x) over {x^2 -x-2} = 1over3]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

함수 [eqn: f(x) = cases {2x-4&```(x ge2)#0&```(0le x<2)#-2x&```(x<0)] 와 주어진 함수 중에서 [eqn: f(x)]와 곱하여 얻어지는 함수 [eqn: y=f(x) g_k (x)(k=1,```2,```3)]이 구간 [eqn: [-1,```3]]에서 연속이 되는 [eqn: g_k (x)]을 모두 고르면? [4.5점]

⑤

ㅇ [eqn: g_1 (x) = - |x-1| +1]

ㅇ [eqn: g_2 (x) = cases{3~&(x>0)#2~&(x=0)#1~&(x<0)]

ㅇ [eqn: g_3 (x) = cases{1&```(x<2)#-x+2&```(x ge 2)]

① [eqn: g_1 (x)]	② [eqn: g_2 (x)]	③ [eqn: g_1 (x)], [eqn: g_2 (x)]

④ [eqn: g_1 (x)], [eqn: g _{3} (x)]	⑤ [eqn: g_1 (x)], [eqn: g_2 (x)], [eqn: g _{3} (x)]

닫힌 구간 [eqn: [-2,```2]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=[x^2 ]]이 불연속이 되는 점의 개수는? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대 정수) [4.6점]

⑤

① [eqn: 4]개	② [eqn: 5]개	③ [eqn: 6]개

④ [eqn: 7]개	⑤ [eqn: 8]개

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 6^n]의 양의 약수들의 총합을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: lim_n->inf f(n) over6^n]의 값은? [4.7점]

②

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]
④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f `prime (1) =-1] ,[eqn: f(1)=2]일 때,
[eqn: lim_x->1 {f(1)-x^2 f(x^3 )}overx-1]의 값은? [4.6점]

③

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

그림과 같이 점 [eqn: rmA_1 (0,```0)]과 점 [eqn: rmA _{2} (4,```3)]을 이은 선분 [eqn: rmA _{1} A _{2}]의 중점을 [eqn: rmA _{3}], 선분 [eqn: rmA _{2} A _{3}]의 중점을 [eqn: rmA _{4}], [eqn: cdots], 선분 [eqn: {rmA} _{n} {rmA} _{n+1}]의 중점을 [eqn: {rmA}_n+2]라 하자. 이와 같은 과정을 한없이 반복하면 점 [eqn: {rmA}_n]은 점 [eqn: (p,```q)]에 한없이 가까워진다. 이때, [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4.7점]

④

① [eqn: 5over3]	② [eqn: 7over3]	③ [eqn: 10over3]

④ [eqn: 14over3]	⑤ [eqn: 20over3]

구간 [eqn: (0,```2)]에서 미분가능한 함수
[eqn: f(x)=lim_n->inf {x^n+1 -ax^2 +b}over{x^n +1}]
에 대하여 [eqn: f ^{1} (x)=f(x)], [eqn: f^k+1 (x) =(f^k CIRCf) (x)]라 하면
[eqn: lim_k->inf f^k {left( 1over2 right)}=m]이다. 이때, [eqn: a times b times m]의 값은? (단, [eqn: n], [eqn: k]는
자연수이고, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: m]는 실수이다.) [4.8점]

①

① [eqn: - 1over4]	② [eqn: - 1over2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 1over2]

서술형

함수 [eqn: f(x)= {x+4} over{x+2}]에 대하여 주어진 문제의 풀이 과정과 답을 서술하시오. [총 10.0점]

(1) 최대 : [eqn: 3],   최소 : [eqn: 3over2]

(2) [eqn: g(x)=x+1-f(x)]라 하면

[eqn: g(x)]는 연속이고 [eqn: g(0)g(1)<0]이다.

(1) [eqn: [-1,```2]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

[4.0점]

(2) 방정식 [eqn: x-f(x)=-1]은 [eqn: (0,```1)]에서 적어도 하나의 실근을

가짐을 서술하시오. [6.0점]

그림과 같이 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmA(4,```0)], [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rmB(0,```3)]가 있다. 점 [eqn: rmP]는 [eqn: x]축을 따라 점 [eqn: rmA]의 왼쪽에서 점 [eqn: rmA]로, 점 [eqn: rmQ]는 [eqn: y]축을 따라 점 [eqn: rmB]의 위쪽에서 점 [eqn: rmB]로 한없이 가까워지면, [eqn: rm barPQ]가 [eqn: rm bar AP = bar BQ]를 만족하면서 움직일 때, [eqn: rm bar{AB}], [eqn: rm barPQ]의 교점 [eqn: rmR]는 어떤 점에 한없이 가까워진다. 이때, 주어진 문제의 풀이과정과 답을 서술하시오. [10.0점]

(1) [eqn: y=- { 3} over {4 }x+3]

(2) [eqn: y= { t-7} over { t}x+(7-t)]

(3) [eqn: left( 16over7 ,~ 9over7right)]

(1) 직선 [eqn: rmAB]의 방정식을 구하시오. [2.0점]

(2) [eqn: rm bar PQ]가 [eqn: rm bar AP = bar BQ]를 만족하면서 움직일 때, 직선 [eqn: rmPQ]의

방정식을 구하는 과정과 답을 서술하시오. [3.0점]

(3) [eqn: rm bar{AB}], [eqn: rm barPQ]의 교점 [eqn: rmR]는 어떤 점에 한없이 가까워지는지

구하는 과정과 답을 서술하시오. [5.0점]

물 [eqn: 1200rmmL]가 담긴 비커가 있다. 이 비커에서 물 [eqn: 1over3]을 퍼내고 물 [eqn: 200rmmL]와 알코올 [eqn: 100rmmL]을 넣어 잘 썩는다. 다시 이 비커에서 용액의 [eqn: {1} over {3}]을 퍼내고 물 [eqn: 200rmmL]와 알코올 [eqn: 100rmmL]을 넣어 잘 섞는다. 이와 같은 과정을 반복하였을 때, 주어진 문제의 풀이과정과 답을 서술하시오. [총 10.0점]

(1) [eqn: a_n =300-200 left( { 2} over {3 }right)^n-1]

[eqn: a_n+1 = { 2} over { 3}a_n +100]

(2) [eqn: 100over3 % image 33%]

(1) 이와 같은 과정을 [eqn: n]번 시행 후, 비커에 있는 알코올 양

[eqn: a_n]을 구하는 과정과 답을 서술하시오. [4.0점]

(2) 이와 같은 과정을 한없이 반복하였을 때, 비커에 있는

알코올의 농도([eqn: %])를 구하는 과정과 답을 서술하시오.

[6.0점]

[2016년 정발고]

[2학년(이과) 1학기 중간 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com